Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = 4 x (x - 7) (x + 12)$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $3$

Leitkoeffizient: $4$

Schritt 2

The leading coefficient needs to be $1$ . If it is not, divide the expression by it to make it $1$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{4 x (x - 7) (x + 12)}{4}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $(x (x - 7)) (x + 12)$ durch $1$ .

$f (x) = (x (x - 7)) (x + 12)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x \cdot x + x \cdot - 7) (x + 12)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x^{2} + x \cdot - 7) (x + 12)$

Schritt 2.4

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = (x^{2} - 7 \cdot x) (x + 12)$

Schritt 2.5

Multipliziere $(x^{2} - 7 x) (x + 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x^{2} (x + 12) - 7 x (x + 12)$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \cdot 12 - 7 x (x + 12)$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{2} x + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x) = x^{3} + x^{2} \cdot 12 - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6.1.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x) = x^{3} + 12 \cdot x^{2} - 7 x \cdot x - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1.3.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 7 x^{2} - 7 x \cdot 12$

Schritt 2.6.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 7$ .

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 7 x^{2} - 84 x$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $7 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 84 x$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$5, - 84$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | 5 |, | - 84 |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - 84 |$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 84$ und $0$ ist $84$ .

$b_{1} = 84 + 1$

Schritt 4.4

Addiere $84$ und $1$ .

$b_{1} = 85$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$b_{2} = 5 + | - 84 |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 84$ und $0$ ist $84$ .

$b_{2} = 5 + 84$

Schritt 5.2

Addiere $5$ und $84$ .

$b_{2} = 89$

Schritt 5.3

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, 89$

Schritt 5.4

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 89$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 85$ oder $b_{2} = 89$ .

Kleinere Schranke: $85$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = 4 x (x - 7) (x + 12)$ liegt zwischen $- 85$ und $85$ .

$- 85$ und $85$