Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $3$

Leitkoeffizient: $4$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f (x) = x^{3} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 256$ und $4$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 256 x$ heraus.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 (1)} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 \cdot 1} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 64 x}{1} + \frac{64}{4}$

Schritt 2.3.2.4

Dividiere $- 64 x$ durch $1$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + \frac{64}{4}$

Schritt 2.4

Dividiere $64$ durch $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + 16$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{1}{4}, - 64, 16$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - \frac{1}{4} |, | 16 |, | - 64 |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - 64 |$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 64$ und $0$ ist $64$ .

$b_{1} = 64 + 1$

Schritt 4.4

Addiere $64$ und $1$ .

$b_{1} = 65$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$- \frac{1}{4}$ ist ungefähr $- 0.25$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{4}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{1}{4} + | - 64 | + | 16 |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 64$ und $0$ ist $64$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + | 16 |$

Schritt 5.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + 16$

Schritt 5.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $64$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} + 16$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{64}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $\frac{64}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + 16$

Schritt 5.2.4

Schreibe $16$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $\frac{16}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $\frac{16}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{1 + 64 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 16 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 64}{4}$

Schritt 5.5

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.5.1

Addiere $1$ und $256$ .

$b_{2} = \frac{257 + 64}{4}$

Schritt 5.5.2

Addiere $257$ und $64$ .

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Schritt 5.6

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, \frac{321}{4}$

Schritt 5.7

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 65$ oder $b_{2} = \frac{321}{4}$ .

Kleinere Schranke: $65$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$ liegt zwischen $- 65$ und $65$ .

$- 65$ und $65$