Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} + 10 x - 3$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $2$

Leitkoeffizient: $- 4$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{- 4 x^{2}}{- 4} + \frac{10 x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (x) = x^{2} + \frac{10 x}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $- 4$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f (x) = x^{2} + \frac{2 (5 x)}{- 4} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f (x) = x^{2} + \frac{2 (5 x)}{2 (- 2)} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{2} + \frac{2 (5 x)}{2 \cdot - 2} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{2} + \frac{5 x}{- 2} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{- 3}{- 4}$

Schritt 2.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (x) = x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{5}{2}, \frac{3}{4}$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | \frac{3}{4} |, | - \frac{5}{2} |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - \frac{5}{2} |$

Schritt 4.3

$- \frac{5}{2}$ ist ungefähr $- 2.5$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{5}{2}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{1} = \frac{5}{2} + 1$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{5}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{5 + 2}{2}$

Schritt 4.6

Addiere $5$ und $2$ .

$b_{1} = \frac{7}{2}$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$- \frac{5}{2}$ ist ungefähr $- 2.5$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{5}{2}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{5}{2} + | \frac{3}{4} |$

Schritt 5.1.2

$\frac{3}{4}$ ist ungefähr $0.75$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.2

Um $\frac{5}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$b_{2} = \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{5 \cdot 2 + 3}{4}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$b_{2} = \frac{10 + 3}{4}$

Schritt 5.5.2

Addiere $10$ und $3$ .

$b_{2} = \frac{13}{4}$

Schritt 5.6

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, \frac{13}{4}$

Schritt 5.7

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = \frac{13}{4}$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = \frac{7}{2}$ oder $b_{2} = \frac{13}{4}$ .

Kleinere Schranke: $\frac{13}{4}$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = - 4 x^{2} + 10 x - 3$ liegt zwischen $- \frac{13}{4}$ und $\frac{13}{4}$ .

$- \frac{13}{4}$ und $\frac{13}{4}$