Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $3$

Leitkoeffizient: $3$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{- 7 x^{2}}{3} + \frac{- 75 x}{3} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f (x) = x^{3} + \frac{- 7 x^{2}}{3} + \frac{- 75 x}{3} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{3} - \frac{7 x^{2}}{3} + \frac{- 75 x}{3} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 75$ und $3$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 75 x$ heraus.

$f (x) = x^{3} - \frac{7 x^{2}}{3} + \frac{3 (- 25 x)}{3} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (x) = x^{3} - \frac{7 x^{2}}{3} + \frac{3 (- 25 x)}{3 (1)} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{3} - \frac{7 x^{2}}{3} + \frac{3 (- 25 x)}{3 \cdot 1} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{3} - \frac{7 x^{2}}{3} + \frac{- 25 x}{1} + \frac{175}{3}$

Schritt 2.3.2.4

Dividiere $- 25 x$ durch $1$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{7 x^{2}}{3} - 25 x + \frac{175}{3}$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{7}{3}, - 25, \frac{175}{3}$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - \frac{7}{3} |, | - 25 |, | \frac{175}{3} |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | \frac{175}{3} |$

Schritt 4.3

$\frac{175}{3}$ ist ungefähr $58.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{1} = \frac{175}{3} + 1$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{175}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{175 + 3}{3}$

Schritt 4.6

Addiere $175$ und $3$ .

$b_{1} = \frac{178}{3}$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$- \frac{7}{3}$ ist ungefähr $- 2.\overline{3}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{7}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{7}{3} + | - 25 | + | \frac{175}{3} |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 25$ und $0$ ist $25$ .

$b_{2} = \frac{7}{3} + 25 + | \frac{175}{3} |$

Schritt 5.1.3

$\frac{175}{3}$ ist ungefähr $58.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{7}{3} + 25 + \frac{175}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = 25 + \frac{7 + 175}{3}$

Schritt 5.2.2

Addiere $7$ und $175$ .

$b_{2} = 25 + \frac{182}{3}$

Schritt 5.3

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$b_{2} = 25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{182}{3}$

Schritt 5.4

Kombiniere $25$ und $\frac{3}{3}$ .

$b_{2} = \frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{182}{3}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{25 \cdot 3 + 182}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$b_{2} = \frac{75 + 182}{3}$

Schritt 5.6.2

Addiere $75$ und $182$ .

$b_{2} = \frac{257}{3}$

Schritt 5.7

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, \frac{257}{3}$

Schritt 5.8

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = \frac{257}{3}$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = \frac{178}{3}$ oder $b_{2} = \frac{257}{3}$ .

Kleinere Schranke: $\frac{178}{3}$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$ liegt zwischen $- \frac{178}{3}$ und $\frac{178}{3}$ .

$- \frac{178}{3}$ und $\frac{178}{3}$