Algebravorstufe Beispiele

$((x - 1 + y - 1) - 1) (x - 1 - y - 1) - 1 \div (x - 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$(((0) - 1 + y - 1) - 1) ((0) - 1 - y - 1) - 1 \div ((0) - 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache $(((0) - 1 + y - 1) - 1) ((0) - 1 - y - 1) - 1 \div ((0) - 2 - y - 2) - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(((0) - 1 + y - 1) - 1) ((0) - 1 - y - 1) - 1 \div ((0) - 2 - y - 2) - 1$ .

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$(- 1 + y - 1 - 1) ((0) - 1 - y - 1) - 1 \div ((0) - 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$(- 1 + y - 1 - 1) (- 1 - y - 1) - 1 \div ((0) - 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.1.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$(- 1 + y - 1 - 1) (- 1 - y - 1) - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$(y - 2 - 1) (- 1 - y - 1) - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$(y - 3) (- 1 - y - 1) - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$(y - 3) (- y - 2) - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.4

Multipliziere $(y - 3) (- y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (- y - 2) - 3 (- y - 2) - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y (- y) + y \cdot - 2 - 3 (- y - 2) - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y (- y) + y \cdot - 2 - 3 (- y) - 3 \cdot - 2 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y \cdot y + y \cdot - 2 - 3 (- y) - 3 \cdot - 2 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.5.1.2.1

Bewege $y$ .

$- (y \cdot y) + y \cdot - 2 - 3 (- y) - 3 \cdot - 2 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- y^{2} + y \cdot - 2 - 3 (- y) - 3 \cdot - 2 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- y^{2} - 2 \cdot y - 3 (- y) - 3 \cdot - 2 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- y^{2} - 2 y + 3 y - 3 \cdot - 2 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$- y^{2} - 2 y + 3 y + 6 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.5.2

Addiere $- 2 y$ und $3 y$ .

$- y^{2} + y + 6 - 1 \div (- 2 - y - 2) - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.6

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$- y^{2} + y + 6 - \frac{1}{- 2 - y - 2} - 1 = 1$

Schritt 2.1.2.7

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- y^{2} + y + 6 - \frac{1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.3

Um $- y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$y + 6 - y^{2} \cdot \frac{- y - 4}{- y - 4} - \frac{1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.4.1

Kombiniere $- y^{2}$ und $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$y + 6 + \frac{- y^{2} (- y - 4)}{- y - 4} - \frac{1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + 6 + \frac{- y^{2} (- y - 4) - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 6 + \frac{- y^{2} (- y) - y^{2} \cdot - 4 - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y + 6 + \frac{- 1 \cdot - 1 y^{2} y - y^{2} \cdot - 4 - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y + 6 + \frac{- 1 \cdot - 1 y^{2} y + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.5.4.1

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.4.1.1

Bewege $y$ .

$y + 6 + \frac{- 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2}) + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.4.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y + 6 + \frac{- 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2}) + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + 6 + \frac{- 1 \cdot - 1 y^{1 + 2} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y + 6 + \frac{- 1 \cdot - 1 y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 6 + \frac{1 y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.5.4.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y + 6 + \frac{y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.6

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$\frac{y (- y - 4)}{- y - 4} + \frac{y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + 6 - 1 = 1$

Schritt 2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + 6 - 1 = 1$

Schritt 2.1.8

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + \frac{6}{1} - 1 = 1$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{- y - 4}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.8.3

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + \frac{6 (- y - 4)}{- y - 4} - 1 = 1$

Schritt 2.1.8.4

Schreibe $- 1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + \frac{6 (- y - 4)}{- y - 4} + \frac{- 1}{1} = 1$

Schritt 2.1.8.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + \frac{6 (- y - 4)}{- y - 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{- y - 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.8.6

Mutltipliziere $\frac{- 1}{1}$ mit $\frac{- y - 4}{- y - 4}$ .

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1}{- y - 4} + \frac{6 (- y - 4)}{- y - 4} + \frac{- (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y (- y - 4) + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (- y) + y \cdot - 4 + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- y \cdot y + y \cdot - 4 + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- y \cdot y - 4 \cdot y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.10.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{- (y \cdot y) - 4 \cdot y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{- y^{2} - 4 \cdot y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y - 4) - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 + 6 (- y) + 6 \cdot - 4 - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 - 6 y + 6 \cdot - 4 - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.7

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 - 6 y - 24 - (- y - 4)}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 - 6 y - 24 - - y - - 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.9

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 2.1.10.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 - 6 y - 24 + 1 y - - 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 - 6 y - 24 + y - - 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.10.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- y^{2} - 4 y + y^{3} + 4 y^{2} - 1 - 6 y - 24 + y + 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.11.1

Addiere $- y^{2}$ und $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} - 4 y + y^{3} - 1 - 6 y - 24 + y + 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.2

Subtrahiere $6 y$ von $- 4 y$ .

$\frac{3 y^{2} - 10 y + y^{3} - 1 - 24 + y + 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.3

Addiere $- 10 y$ und $y$ .

$\frac{3 y^{2} - 9 y + y^{3} - 1 - 24 + 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.11.4.1

Subtrahiere $24$ von $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - 9 y + y^{3} - 25 + 4}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.4.2

Addiere $- 25$ und $4$ .

$\frac{3 y^{2} - 9 y + y^{3} - 21}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{y^{3} + 3 y^{2} - 9 y - 21}{- y - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{y^{3} + 3 y^{2} - 9 y - 21}{- (y) - 4} = 1$

Schritt 2.1.11.6

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{y^{3} + 3 y^{2} - 9 y - 21}{- (y) - 1 (4)} = 1$

Schritt 2.1.11.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{y^{3} + 3 y^{2} - 9 y - 21}{- (y + 4)} = 1$

Schritt 2.1.11.8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 2.1.11.8.1

Schreibe $- (y + 4)$ als $- 1 (y + 4)$ um.

$\frac{y^{3} + 3 y^{2} - 9 y - 21}{- 1 (y + 4)} = 1$

Schritt 2.1.11.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y^{3} + 3 y^{2} - 9 y - 21}{y + 4} = 1$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y \approx - 3.93515155, - 1.66283827, 2.59798982$

Schritt 3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 3.93515155), (0, - 1.66283827), (0, 2.59798982)$

Schritt 4