Algebravorstufe Beispiele

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ , $- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 4

Subtrahiere $8 y^{6}$ von $2 y^{6}$ .

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5

Schreibe $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6 y^{6}$ heraus.

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 15 y^{3}$ heraus.

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ heraus.

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ heraus.

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.2

Schreibe $y^{6}$ als ${(y^{3})}^{2}$ um.

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.3

Es sei $u = y^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $y^{3}$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u$ heraus.

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.5

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.1

Ersetze alle $u$ durch $y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 5.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Schritt 6

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 y^{3} + 5$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 y^{3}$ heraus.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 5$ aus $5$ heraus.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ heraus.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Schritt 7

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Schritt 8

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Schritt 9.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Schritt 10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ heraus.

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Schritt 10.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ heraus.

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ heraus.

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 14

Multipliziere $(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Multipliziere $y^{3}$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1.1.1

Bewege $y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 15.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 15.1.1.3

Addiere $3$ und $3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 15.2

Addiere $12 y^{3}$ und $3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 16

Wende das Distributivgesetz an.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 17

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Schritt 18

Multipliziere $(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 19.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.2.1

Bewege $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Schritt 19.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Schritt 20

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

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Schritt 20.1

Subtrahiere $5 y^{2}$ von $5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Schritt 20.2

Addiere $5 y^{3} + 5 y$ und $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Schritt 20.3

Subtrahiere $5 y$ von $5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Schritt 20.4

Addiere $5 y^{3}$ und $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Schritt 21

Addiere $15 y^{3}$ und $5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Schritt 22

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Schritt 23

Der größte gemeinsame Teiler $GCF$ ist der Term vor dem faktorisierten Ausdruck.

$- 1$