Algebravorstufe Beispiele

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Schritt 1

Vereinfache $x (x - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

Schritt 1.4.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x + 6)$

Schritt 2

Vereinfache $x (2 x + 6)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x) + x \cdot 6$

Schritt 2.1.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + x \cdot 6$

Schritt 2.1.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + 6 \cdot x$

Schritt 2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 (x \cdot x) + 6 \cdot x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 \cdot x$

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 x$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} \leq 6 x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 6 x \leq 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- x^{2} - 2 x - 6 x \leq 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $6 x$ von $- 2 x$ .

$- x^{2} - 8 x \leq 0$

Schritt 4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} - 8 x = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x - 8 x = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 8 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot 8 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (8)$ heraus.

$- x (x + 8) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 8$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 10) ((- 10) - 2) \leq (- 10) (2 (- 10) + 6)$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $120$ ist kleiner als die rechte Seite $140$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 4) ((- 4) - 2) \leq (- 4) (2 (- 4) + 6)$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $24$ ist größer als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) ((2) - 2) \leq (2) (2 (2) + 6)$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 8$ Wahr

$- 8 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 8$ oder $x \geq 0$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 8 or x \geq 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 8] \cup [0, \infty)$

Schritt 14