Algebravorstufe Beispiele

$(- 7, - 8)$ , $(- 5, - 7)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot - 5 - 8 \cdot - 7$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 35 - 8 \cdot - 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 35 + 56$

Schritt 2.2.2

Addiere $35$ und $56$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 91$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + {(- 8)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 64}$

Schritt 3.2.3

Addiere $49$ und $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{113}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 7)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Schritt 4.2.3

Addiere $25$ und $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{113} \sqrt{74}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{113 \cdot 74}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $113$ mit $74$ .

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{8362}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{91}{\sqrt{8362}}$ mit $\frac{\sqrt{8362}}{\sqrt{8362}}$ .

$θ = \arccos (\frac{91}{\sqrt{8362}} \cdot \frac{\sqrt{8362}}{\sqrt{8362}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{91}{\sqrt{8362}}$ mit $\frac{\sqrt{8362}}{\sqrt{8362}}$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{\sqrt{8362} \sqrt{8362}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{8362}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{1} \sqrt{8362}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{8362}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{1} {\sqrt{8362}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{\sqrt{8362}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{8362}}^{2}$ als $8362$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8362}$ als $8362^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{{(8362^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{91 \sqrt{8362}}{8362})$ .

$θ = 5.64824737$