Algebravorstufe Beispiele

$(4, 3)$ , $(- 1, 6)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 4$ und $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

Schritt 3.2.3

Addiere $16$ und $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 5$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ mit $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Schritt 6.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ mit $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})$

Schritt 6.2.2

Bewege $\sqrt{37}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})})$

Schritt 6.2.3

Potenziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})})$

Schritt 6.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})$

Schritt 6.2.7

Schreibe ${\sqrt{37}}^{2}$ als $37$ um.

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Schritt 6.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{37}$ als $37^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{1}})$

Schritt 6.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $5$ mit $37$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$ .

$θ = 62.59242456$