Algebravorstufe Beispiele

$(3, 3)$ , $(5, 7)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 15 + 3 \cdot 7$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 15 + 21$

Schritt 2.2.2

Addiere $15$ und $21$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 36$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 3^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Schritt 3.2.3

Addiere $9$ und $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 7^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

Schritt 4.2.3

Addiere $25$ und $49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{36}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $3$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 \sqrt{2} \sqrt{74}})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{2} \sqrt{74}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 12}{3 (\sqrt{2} \sqrt{74})})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2} \sqrt{74}})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2 \cdot 74}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $74$ .

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{148}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $148$ als $2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $148$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{4 (37)}})$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{12}{\sqrt{2^{2} \cdot 37}})$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{12}{2 \sqrt{37}})$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 \sqrt{37}})$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{37}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 (\sqrt{37})})$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 6}{2 \sqrt{37}})$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{37}})$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{37}}$ mit $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Schritt 6.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{37}}$ mit $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}})$

Schritt 6.6.2

Potenziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37}})$

Schritt 6.6.3

Potenziere $\sqrt{37}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1}})$

Schritt 6.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}})$

Schritt 6.6.6

Schreibe ${\sqrt{37}}^{2}$ als $37$ um.

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Schritt 6.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{37}$ als $37^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37^{1}})$

Schritt 6.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37})$

Schritt 6.7

Berechne $\arccos (\frac{6 \sqrt{37}}{37})$ .

$θ = 9.4623222$