Algebravorstufe Beispiele

$(- 3, 2)$ , $(4, - 1)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 4 + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12 + 2 \cdot - 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12 - 2$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 14$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Schritt 3.2.3

Addiere $9$ und $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 1}$

Schritt 4.2.3

Addiere $16$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{17}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{13} \sqrt{17}})$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{13 \cdot 17}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $17$ .

$θ = \arccos (\frac{- 14}{\sqrt{221}})$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{14}{\sqrt{221}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{14}{\sqrt{221}}$ mit $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{14}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}))$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{14}{\sqrt{221}}$ mit $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{\sqrt{221} \sqrt{221}})$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{221}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} \sqrt{221}})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{221}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} {\sqrt{221}}^{1}})$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{2}})$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{221}}^{2}$ als $221$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{221}$ als $221^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{{(221^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221^{1}})$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (- \frac{14 \sqrt{221}}{221})$ .

$θ = 160.34617594$