Algebravorstufe Beispiele

$(- 2, 3)$ , $(5, 3)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 5 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 3 \cdot 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10 + 9$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 10$ und $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ und $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 3^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 9}$

Schritt 4.2.3

Addiere $25$ und $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{34}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13} \sqrt{34}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{13 \cdot 34}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $34$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{442}})$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{442}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{442}}$ mit $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{442}} \cdot \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}))$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{442}}$ mit $\frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{\sqrt{442} \sqrt{442}})$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{442}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} \sqrt{442}})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{442}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1} {\sqrt{442}}^{1}})$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{\sqrt{442}}^{2}})$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{442}}^{2}$ als $442$ um.

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Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{442}$ als $442^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{{(442^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442^{1}})$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$

Schritt 6.5

Berechne $\arccos (- \frac{\sqrt{442}}{442})$ .

$θ = 92.72631099$