Algebravorstufe Beispiele

$(10, - 9)$ , $(13, - 5)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot 13 - 9 \cdot - 5$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $13$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 130 - 9 \cdot - 5$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 130 + 45$

Schritt 2.2.2

Addiere $130$ und $45$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 175$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + {(- 9)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + {(- 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 81}$

Schritt 3.2.3

Addiere $100$ und $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{181}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2} + {(- 5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere $13$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169 + {(- 5)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169 + 25}$

Schritt 4.2.3

Addiere $169$ und $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{194}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{181} \sqrt{194}})$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{181 \cdot 194}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $181$ mit $194$ .

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{35114}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{175}{\sqrt{35114}}$ mit $\frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}}$ .

$θ = \arccos (\frac{175}{\sqrt{35114}} \cdot \frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{175}{\sqrt{35114}}$ mit $\frac{\sqrt{35114}}{\sqrt{35114}}$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{\sqrt{35114} \sqrt{35114}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{35114}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1} \sqrt{35114}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{35114}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1} {\sqrt{35114}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{\sqrt{35114}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{35114}}^{2}$ als $35114$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{35114}$ als $35114^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{{(35114^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{175 \sqrt{35114}}{35114})$ .

$θ = 20.94970147$