Algebravorstufe Beispiele

$(10, 5)$ , $(23, - 4)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot 23 + 5 \cdot - 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $23$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 230 + 5 \cdot - 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 230 - 20$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $20$ von $230$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 210$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 5^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 5^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 25}$

Schritt 3.2.3

Addiere $100$ und $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{125}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $125$ als $5^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$| a⃗ | = \sqrt{25 (5)}$

Schritt 3.2.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 5}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| a⃗ | = 5 \sqrt{5}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{23^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Potenziere $23$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{529 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{529 + 16}$

Schritt 4.2.3

Addiere $529$ und $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{545}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{210}{5 \sqrt{5} \sqrt{545}})$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $210$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $210$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 \sqrt{5} \sqrt{545}})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{5} \sqrt{545}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 (\sqrt{5} \sqrt{545})})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 (\sqrt{5} \sqrt{545})})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5} \sqrt{545}})$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5 \cdot 545}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $545$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{2725}})$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Schreibe $2725$ als $5^{2} \cdot 109$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $25$ aus $2725$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{25 (109)}})$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5^{2} \cdot 109}})$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arccos (\frac{42}{5 \sqrt{109}})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{42}{5 \sqrt{109}}$ mit $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{5 \sqrt{109}} \cdot \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}})$

Schritt 6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{42}{5 \sqrt{109}}$ mit $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \sqrt{109} \sqrt{109}})$

Schritt 6.5.2

Bewege $\sqrt{109}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 (\sqrt{109} \sqrt{109})})$

Schritt 6.5.3

Potenziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 ({\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})})$

Schritt 6.5.4

Potenziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 ({\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})})$

Schritt 6.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {\sqrt{109}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {\sqrt{109}}^{2}})$

Schritt 6.5.7

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{1}})$

Schritt 6.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109})$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $5$ mit $109$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{545})$

Schritt 6.7

Berechne $\arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{545})$ .

$θ = 36.43085812$