Algebravorstufe Beispiele

$(- 1, - 5)$ , $(- 1, 0)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - - 1 - 5 \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - 5 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 5)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 25}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{26}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Schritt 4.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 0}$

Schritt 4.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Schritt 4.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26} \cdot 1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26} \cdot 1})$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{26}}$ mit $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{26}}$ mit $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{26}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{26}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{26}}^{2}$ als $26$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{26}$ als $26^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{26}}{26})$ .

$θ = 78.69006752$