Algebravorstufe Beispiele

$(1, 2.22)$ , $(2, 3.32)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 2 + 2.22 \cdot 3.32$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 2.22 \cdot 3.32$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2.22$ mit $3.32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 7.3704$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ und $7.3704$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.3704$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {2.22}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {2.22}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2.22$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4.9284}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $4.9284$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5.9284}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + {3.32}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {3.32}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $3.32$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 11.0224}$

Schritt 4.2.3

Addiere $4$ und $11.0224$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15.0224}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{5.9284} \sqrt{15.0224}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{5.9284 \cdot 15.0224}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $5.9284$ mit $15.0224$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}}$ mit $\frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}} \cdot \frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{9.3704}{\sqrt{89.05879616}}$ mit $\frac{\sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{\sqrt{89.05879616} \sqrt{89.05879616}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{89.05879616}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1} \sqrt{89.05879616}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{89.05879616}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1} {\sqrt{89.05879616}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{\sqrt{89.05879616}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{89.05879616}}^{2}$ als $89.05879616$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{89.05879616}$ als ${89.05879616}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{({89.05879616}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{{89.05879616}^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{9.3704 \sqrt{89.05879616}}{89.05879616})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $9.3704$ mit $\sqrt{89.05879616}$ .

$θ = \arccos (\frac{88.42937192}{89.05879616})$

Schritt 6.5

Dividiere $88.42937192$ durch $89.05879616$ .

$θ = \arccos (0.99293248)$

Schritt 6.6

Berechne $\arccos (0.99293248)$ .

$θ = 6.81596047$