Algebravorstufe Beispiele

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Schritt 3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Schritt 4.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 6.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Schritt 6.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Schritt 6.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Schritt 6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.5

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $135$ .

$θ = 135$