Algebravorstufe Beispiele

$(0, 75)$ , $(7, 40)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 7 + 75 \cdot 40$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 75 \cdot 40$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $75$ mit $40$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 3000$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $3000$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3000$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 75^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 75^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $75$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 5625}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $5625$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5625}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $5625$ als $75^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{75^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 75$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{7^{2} + 40^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 40^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $40$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 1600}$

Schritt 4.2.3

Addiere $49$ und $1600$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1649}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{3000}{75 \sqrt{1649}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3000$ und $75$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $75$ aus $3000$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{75 \cdot 40}{75 \sqrt{1649}})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $75$ aus $75 \sqrt{1649}$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{75 \cdot 40}{75 (\sqrt{1649})})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{75 \cdot 40}{75 \sqrt{1649}})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{40}{\sqrt{1649}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{40}{\sqrt{1649}}$ mit $\frac{\sqrt{1649}}{\sqrt{1649}}$ .

$θ = \arccos (\frac{40}{\sqrt{1649}} \cdot \frac{\sqrt{1649}}{\sqrt{1649}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{40}{\sqrt{1649}}$ mit $\frac{\sqrt{1649}}{\sqrt{1649}}$ .

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{\sqrt{1649} \sqrt{1649}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{1649}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{{\sqrt{1649}}^{1} \sqrt{1649}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{1649}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{{\sqrt{1649}}^{1} {\sqrt{1649}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{{\sqrt{1649}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{{\sqrt{1649}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{1649}}^{2}$ als $1649$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1649}$ als $1649^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{{(1649^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{1649^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{1649^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{1649^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{1649^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{1649})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (\frac{40 \sqrt{1649}}{1649})$ .

$θ = 9.9262455$