Algebravorstufe Beispiele

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $\frac{1}{25}$ und $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Schritt 3.2.5

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $9$ und $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Schritt 3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Schritt 3.2.8.2

Addiere $1$ und $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Schritt 3.2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{226}{25}}$ als $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ um.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Schritt 3.2.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.10.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 3.2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Schritt 4.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Schritt 4.2.5

Addiere $\frac{1}{25}$ und $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Schritt 4.2.6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ um.

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.8.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 4.2.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{226}}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{25}{\sqrt{226}}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Schritt 6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{226}}$ mit $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Schritt 6.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{226}}$ mit $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Schritt 6.8.2

Potenziere $\sqrt{226}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Schritt 6.8.3

Potenziere $\sqrt{226}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Schritt 6.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Schritt 6.8.6

Schreibe ${\sqrt{226}}^{2}$ als $226$ um.

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Schritt 6.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{226}$ als $226^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Schritt 6.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Schritt 6.9

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$