Algebravorstufe Beispiele

${(a - b)}^{3}$ , $a^{3} - b^{3}$ , $a^{2} - b^{2}$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

${(a - b)}^{3} + a^{3} - b^{3} + a^{2} - b^{2}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} - b^{2}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$

Schritt 4

Faktorisiere $a - b$ aus $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a - b$ aus $(a + b) (a - b)$ heraus.

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$

Schritt 4.2

Faktorisiere $a - b$ aus $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$ heraus.

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 5

Faktorisiere $a - b$ aus ${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a - b$ aus ${(a - b)}^{3}$ heraus.

$(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 5.2

Faktorisiere $a - b$ aus $(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ heraus.

$(a - b) ({(a - b)}^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 6

Schreibe ${(a - b)}^{2}$ als $(a - b) (a - b)$ um.

$(a - b) ((a - b) (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 7

Multipliziere $(a - b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(a - b) (a (a - b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.4.1

Bewege $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $b a$ von $- a b$ .

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Schritt 8.2.1

Bewege $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $a b$ von $- a b$ .

$(a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 9

Addiere $a^{2}$ und $a^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 10

Addiere $- 2 a b$ und $a b$ .

$(a - b) (2 a^{2} + b^{2} - a b + b^{2} + a + b)$

Schritt 11

Addiere $b^{2}$ und $b^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} + 2 b^{2} - a b + a + b)$