Algebravorstufe Beispiele

$2 \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[3]{x^{2} + 2 x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(2 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 {(x - 1)}^{1} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$8 (x - 1) = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x + 8 \cdot - 1 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + 2 x}}^{3}$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + x \cdot 2}}^{3}$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 2$ heraus.

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$ als $x (x + 2)$ um.

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Schritt 2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x (x + 2)}$ als ${(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$8 x - 8 = {({(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{1}$

Schritt 2.3.1.2.5

Vereinfache.

$8 x - 8 = x (x + 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x - 8 = x \cdot x + x \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + x \cdot 2$

Schritt 2.3.1.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x = 8 x - 8$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 8 x = - 8$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $8 x$ von $2 x$ .

$x^{2} - 6 x = - 8$

Schritt 3.3

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 2$