Algebravorstufe Beispiele

$5 x + 3 y = 1$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 1 - 5 x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 1 - 5 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 1 - 5 x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{1}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{1}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 5 x}{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{1}{3} - \frac{5 x}{3}$

Schritt 2

Forme zur Normalform um.

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Schritt 2.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 2.2

Stelle $\frac{1}{3}$ und $- \frac{5 x}{3}$ um.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 2.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 2.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{1}{3}$

Schritt 3

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = - \frac{5}{3}$

$b = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $- \frac{5}{3}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, \frac{1}{3})$

Steigung: $- \frac{5}{3}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, \frac{1}{3})$

Schritt 4

Jede Gerade kann mittels zweier Punkte gezeichnet werden. Wähle zwei $x$ -Werte und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu finden.

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Schritt 4.1

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 4.1.1

Stelle $\frac{1}{3}$ und $- \frac{5 x}{3}$ um.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{3}$

Schritt 4.1.3

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2

Finde den Schnittpunkt mit der x-Achse.

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Schritt 4.2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - \frac{5}{3} x + \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{5}{3} x + \frac{1}{3} = 0$ um.

$- \frac{5}{3} x + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 4.2.2.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{5 x}{3} + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{5 x}{3} = - \frac{1}{3}$

Schritt 4.2.2.4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 5 x = - 1$

Schritt 4.2.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 1$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = - 1$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 4.2.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.2.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 4.2.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 5}$

Schritt 4.2.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 4.2.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{1}{5}, 0)$

Schritt 4.3

Finde den Schnittpunkt mit der y-Achse.

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Schritt 4.3.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache $- \frac{5}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Multipliziere $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$y = 0 (\frac{5}{3}) + \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{3}$ .

$y = 0 + \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, \frac{1}{3})$

Schritt 4.4

Erstelle eine Tabelle mit den $x$ - und $y$ -Werten.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & 0 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Gerade mittels der Steigung und der y-Achsenabschnitte oder der Punkte.

Steigung: $- \frac{5}{3}$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, \frac{1}{3})$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & 0 \end{array}$

Schritt 6