Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{7} x^{2} + \frac{1}{21} x - 1 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{1}{21} x - 1 = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{21}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{x}{21} - 1 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $21$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$21 (\frac{x^{2}}{7}) + 21 (\frac{x}{21}) + 21 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$7 (3) (\frac{x^{2}}{7}) + 21 (\frac{x}{21}) + 21 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \cdot (3 (\frac{x^{2}}{7})) + 21 (\frac{x}{21}) + 21 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 21 (\frac{x}{21}) + 21 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $21$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 21 (\frac{x}{21}) + 21 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + x + 21 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} + x - 21 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 1$ und $c = - 21$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 21)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 21}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 21$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 21}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 21$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 252}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $252$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{253}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{253}}{6}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 21}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 21$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 21}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 21$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 252}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Addiere $1$ und $252$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{253}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{253}}{6}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{253}}{6}$

Schritt 6.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{253}}{6}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{253}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{253})}{6}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{253})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{253})}{6}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - \sqrt{253}}{6}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 21}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 21$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 21}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 21$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 252}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1$ und $252$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{253}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{253}}{6}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{253}}{6}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{253}}{6}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{253}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{253})}{6}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{253})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{253})}{6}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \sqrt{253}}{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{253}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{253}}{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 - \sqrt{253}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{253}}{6}$

Dezimalform:

$x = 2.48432895 \dots, - 2.81766228 \dots$