Algebravorstufe Beispiele

$11 m - 10 = 3 m^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $3 m^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$11 m - 10 - 3 m^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $11 m - 10 - 3 m^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.1.1.1

Bewege $- 10$ .

$11 m - 3 m^{2} - 10 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Stelle $11 m$ und $- 3 m^{2}$ um.

$- 3 m^{2} + 11 m - 10 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 m^{2}$ heraus.

$- (3 m^{2}) + 11 m - 10 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $11 m$ heraus.

$- (3 m^{2}) - (- 11 m) - 10 = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$- (3 m^{2}) - (- 11 m) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 m^{2}) - (- 11 m)$ heraus.

$- (3 m^{2} - 11 m) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 m^{2} - 11 m) - 1 (10)$ heraus.

$- (3 m^{2} - 11 m + 10) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 10 = 30$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 m$ heraus.

$- (3 m^{2} - 11 m + 10) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $- 11$ um als $- 5$ plus $- 6$

$- (3 m^{2} + (- 5 - 6) m + 10) = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 m^{2} - 5 m - 6 m + 10) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 m^{2} - 5 m) - 6 m + 10) = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (m (3 m - 5) - 2 (3 m - 5)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 m - 5$ .

$- ((3 m - 5) (m - 2)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 m - 5) (m - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 m - 5 = 0$

$m - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $3 m - 5$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 m - 5$ gleich $0$ .

$3 m - 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 m - 5 = 0$ nach $m$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 m = 5$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 m = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 m = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 m}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 m}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{5}{3}$

Schritt 5

Setze $m - 2$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $m - 2$ gleich $0$ .

$m - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m = 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 m - 5) (m - 2) = 0$ wahr machen.

$m = \frac{5}{3}, 2$