Algebravorstufe Beispiele

$12 x^{2} + x \sqrt{6} - 1 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 12$ , $b = \sqrt{6}$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot - 1)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.3

Addiere $6$ und $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $54$ als $3^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.3

Addiere $6$ und $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $54$ als $3^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 4.4

Addiere $- \sqrt{6}$ und $3 \sqrt{6}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $24$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{2 (\sqrt{6})}{24}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 5.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 4 \cdot 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 12 \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 - 48 \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{6 + 48}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.3

Addiere $6$ und $48$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{54}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $54$ als $3^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{9 (6)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{2 \cdot 12}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} \pm 3 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- \sqrt{6} - 3 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $3 \sqrt{6}$ von $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 4 \sqrt{6}}{24}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $24$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{24}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{4 (6)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 (- \sqrt{6})}{4 \cdot 6}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{6}}{6}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{6}}{12}, - \frac{\sqrt{6}}{6}$

Dezimalform:

$x = 0.20412414 \dots, - 0.40824829 \dots$