Algebravorstufe Beispiele

$(4 x + 5) \div \frac{16 x^{2} - 25}{4 x^{2} + 19 x - 30}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$(4 x + 5) \frac{4 x^{2} + 19 x - 30}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 30 = - 120$ und deren Summe gleich $b = 19$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $19$ aus $19 x$ heraus.

$(4 x + 5) \frac{4 x^{2} + 19 (x) - 30}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $19$ um als $- 5$ plus $24$

$(4 x + 5) \frac{4 x^{2} + (- 5 + 24) x - 30}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x + 5) \frac{4 x^{2} - 5 x + 24 x - 30}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x + 5) \frac{(4 x^{2} - 5 x) + 24 x - 30}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(4 x + 5) \frac{x (4 x - 5) + 6 (4 x - 5)}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 5$ .

$(4 x + 5) \frac{(4 x - 5) (x + 6)}{16 x^{2} - 25}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$(4 x + 5) \frac{(4 x - 5) (x + 6)}{{(4 x)}^{2} - 25}$

Schritt 3.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(4 x + 5) \frac{(4 x - 5) (x + 6)}{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 5$ .

$(4 x + 5) \frac{(4 x - 5) (x + 6)}{(4 x + 5) (4 x - 5)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x + 5$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 x + 5) \frac{(4 x - 5) (x + 6)}{(4 x + 5) (4 x - 5)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 x - 5) (x + 6)}{4 x - 5}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x - 5$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 5) (x + 6)}{4 x - 5}$

Schritt 5.2

Dividiere $x + 6$ durch $1$ .

$x + 6$