Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - 11 x + 28}}{x^{2 - x - 42}}}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2 - 11 x + 28}$ und $x^{2 - x - 42}$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2 - x - 42}$ aus $x^{2 - 11 x + 28}$ heraus.

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42}}}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42} \cdot 1}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{2 - x - 42} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{x^{2 - x - 42} \cdot 1}}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{\frac{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}{1}}$

Schritt 1.2.4

Dividiere $x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}}}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Schreibe $8$ um als $9$ plus $- 1$

$\frac{9 - 1 + 2 x - x^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Schritt 3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = x$ .

$\frac{9 - {(1 - x)}^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = 1 - x$ .

$\frac{(3 + 1 - x) (3 - (1 - x))}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - (1 - x))}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 - x) (3 - 1 \cdot 1 - - x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - 1 - - x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.5.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - 1 + 1 x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(4 - x) (3 - 1 + x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 3.5.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{2 + 7 x + 10}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 4

Addiere $2$ und $10$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{7 x + 12}} \cdot \frac{1}{x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12} x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 6

Multipliziere $x^{7 x + 12}$ mit $x^{- 11 x + 30 - (2 - x - 42)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - (2 - x - 42)}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $42$ von $2$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - (- x - 40)}}$

Schritt 6.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 - - x - - 40}}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + 1 x - - 40}}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + x - - 40}}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 40$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 11 x + 30 + x + 40}}$

Schritt 6.4

Addiere $- 11 x$ und $x$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 10 x + 30 + 40}}$

Schritt 6.5

Addiere $30$ und $40$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{7 x + 12 - 10 x + 70}}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $10 x$ von $7 x$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{- 3 x + 12 + 70}}$

Schritt 6.7

Addiere $12$ und $70$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x) \cdot 1}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $(4 - x) (2 + x)$ mit $1$ .

$\frac{(4 - x) (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 8

Multipliziere $(4 - x) (2 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 + x) - x (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 x - x (2 + x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 x - x \cdot 2 - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 + 4 x - x \cdot 2 - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{8 + 4 x - 2 x - x \cdot x}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 9.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 + 4 x - 2 x - (x \cdot x)}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 9.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 + 4 x - 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{8 + 2 x - x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$ in zwei Brüche.

$\frac{8 + 2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 11

Zerlege den Bruch $\frac{8 + 2 x}{x^{- 3 x + 82}}$ in zwei Brüche.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2}}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{- 3 x + 82}$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $x^{- 3 x + 82}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82}}$

Schritt 12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82} \cdot 1}$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{x^{- 3 x + 82} (- x^{2 - (- 3 x + 82)})}{x^{- 3 x + 82} \cdot 1}$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{- x^{2 - (- 3 x + 82)}}{1}$

Schritt 12.2.4

Dividiere $- x^{2 - (- 3 x + 82)}$ durch $1$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 - (- 3 x + 82)}$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 - (- 3 x) - 1 \cdot 82}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 + 3 x - 1 \cdot 82}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $82$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{2 + 3 x - 82}$

Schritt 14

Subtrahiere $82$ von $2$ .

$\frac{8}{x^{- 3 x + 82}} + \frac{2 x}{x^{- 3 x + 82}} - x^{3 x - 80}$