Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2 z^{4} - 8 z^{3} + 17 z^{2} - 40 z - 23}{z^{2} - z + 7}$

Schritt 1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

Schritt 2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 z^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z^{2}$ .

							$2 z^{2}$
	$z^{2}$	-	$z$	+	$7$		$2 z^{4}$	-	$8 z^{3}$	+	$17 z^{2}$	-	$40 z$	-	$23$

Schritt 3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 z^{2}$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

Schritt 4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 z^{4} - 2 z^{3} + 14 z^{2}$

$2 z^{2}$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

Schritt 5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 z^{2}$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

Schritt 6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 z^{2}$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

Schritt 7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 z^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z^{2}$ .

$2 z^{2}$

$6 z$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

Schritt 8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 z^{2}$

$6 z$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

$6 z^{3}$

$6 z^{2}$

$42 z$

Schritt 9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 z^{3} + 6 z^{2} - 42 z$

$2 z^{2}$

$6 z$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

$6 z^{3}$

$6 z^{2}$

$42 z$

Schritt 10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 z^{2}$

$6 z$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

$6 z^{3}$

$6 z^{2}$

$42 z$

$3 z^{2}$

$2 z$

Schritt 11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 z^{2}$

$6 z$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

$6 z^{3}$

$6 z^{2}$

$42 z$

$3 z^{2}$

$2 z$

$23$

Schritt 12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 z^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $z^{2}$ .

$2 z^{2}$

$6 z$

$3$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

$6 z^{3}$

$6 z^{2}$

$42 z$

$3 z^{2}$

$2 z$

$23$

Schritt 13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$2 z^{2}$	-	$6 z$	-	$3$
$z^{2}$	-	$z$	+	$7$		$2 z^{4}$	-	$8 z^{3}$	+	$17 z^{2}$	-	$40 z$	-	$23$
					-	$2 z^{4}$	+	$2 z^{3}$	-	$14 z^{2}$
							-	$6 z^{3}$	+	$3 z^{2}$	-	$40 z$
							+	$6 z^{3}$	-	$6 z^{2}$	+	$42 z$
									-	$3 z^{2}$	+	$2 z$	-	$23$
									-	$3 z^{2}$	+	$3 z$	-	$21$

Schritt 14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 z^{2} + 3 z - 21$

$2 z^{2}$

$6 z$

$3$

$z^{2}$

$z$

$7$

$2 z^{4}$

$8 z^{3}$

$17 z^{2}$

$40 z$

$23$

$2 z^{4}$

$2 z^{3}$

$14 z^{2}$

$6 z^{3}$

$3 z^{2}$

$40 z$

$6 z^{3}$

$6 z^{2}$

$42 z$

$3 z^{2}$

$2 z$

$23$

$3 z^{2}$

$3 z$

$21$

Schritt 15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$2 z^{2}$	-	$6 z$	-	$3$
$z^{2}$	-	$z$	+	$7$		$2 z^{4}$	-	$8 z^{3}$	+	$17 z^{2}$	-	$40 z$	-	$23$
					-	$2 z^{4}$	+	$2 z^{3}$	-	$14 z^{2}$
							-	$6 z^{3}$	+	$3 z^{2}$	-	$40 z$
							+	$6 z^{3}$	-	$6 z^{2}$	+	$42 z$
									-	$3 z^{2}$	+	$2 z$	-	$23$
									+	$3 z^{2}$	-	$3 z$	+	$21$
											-	$z$	-	$2$

Schritt 16

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$2 z^{2} - 6 z - 3 + \frac{- z - 2}{z^{2} - z + 7}$