Algebravorstufe Beispiele

 $\begin{array}{r} h = & 12 \\ l = & 15 \\ w = & 12 \end{array}$

Schritt 1

Die Oberfläche einer Pyramide ist gleich der Summe der Flächen aller Seiten der Pyramide. Die Basis der Pyramide hat die Fläche $l w$ und $s_{l}$ sowie $s_{w}$ stellen die schräge Höhe an der Länge und die schräge Höhe an der Breite dar.

$(l e n g t h) \cdot (w i d t h) + (w i d t h) \cdot s_{l} + (l e n g t h) \cdot s_{w}$

Schritt 2

Setze die Werte für die Länge $l = 15$ , die Breite $w = 12$ und die Höhe $h = 12$ in die Formel für die Oberfläche einer Pyramide ein.

$15 \cdot 12 + 12 \cdot \sqrt{{(\frac{15}{2})}^{2} + {(12)}^{2}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $15$ mit $12$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{{(\frac{15}{2})}^{2} + {(12)}^{2}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{15^{2}}{2^{2}} + {(12)}^{2}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $15$ mit $2$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225}{2^{2}} + {(12)}^{2}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225}{4} + {(12)}^{2}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.5

Potenziere $12$ mit $2$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225}{4} + 144} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.6

Um $144$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225}{4} + 144 \cdot \frac{4}{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.7

Kombiniere $144$ und $\frac{4}{4}$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{144 \cdot 4}{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225 + 144 \cdot 4}{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $144$ mit $4$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{225 + 576}{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Addiere $225$ und $576$ .

$180 + 12 \cdot \sqrt{\frac{801}{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $\sqrt{\frac{801}{4}}$ als $\frac{\sqrt{801}}{\sqrt{4}}$ um.

$180 + 12 \cdot \frac{\sqrt{801}}{\sqrt{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Schreibe $801$ als $3^{2} \cdot 89$ um.

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Schritt 3.11.1.1

Faktorisiere $9$ aus $801$ heraus.

$180 + 12 \cdot \frac{\sqrt{9 (89)}}{\sqrt{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.11.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$180 + 12 \cdot \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 89}}{\sqrt{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$180 + 12 \cdot \frac{3 \sqrt{89}}{\sqrt{4}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.12.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$180 + 12 \cdot \frac{3 \sqrt{89}}{\sqrt{2^{2}}} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$180 + 12 \cdot \frac{3 \sqrt{89}}{2} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$180 + 2 (6) \cdot \frac{3 \sqrt{89}}{2} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$180 + 2 \cdot 6 \cdot \frac{3 \sqrt{89}}{2} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$180 + 6 \cdot (3 \sqrt{89}) + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.14

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$180 + 18 \cdot \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.15

Dividiere $12$ durch $2$ .

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{6^{2} + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.16

Potenziere $6$ mit $2$ .

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{36 + {(12)}^{2}}$

Schritt 3.17

Potenziere $12$ mit $2$ .

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{36 + 144}$

Schritt 3.18

Addiere $36$ und $144$ .

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{180}$

Schritt 3.19

Schreibe $180$ als $6^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.19.1

Faktorisiere $36$ aus $180$ heraus.

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{36 (5)}$

Schritt 3.19.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 5}$

Schritt 3.20

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$180 + 18 \sqrt{89} + 15 \cdot (6 \sqrt{5})$

Schritt 3.21

Mutltipliziere $6$ mit $15$ .

$180 + 18 \sqrt{89} + 90 \sqrt{5}$

Schritt 4

Berechne die genäherte Lösung auf $4$ Dezimalstellen.

$551.0578$