Algebravorstufe Beispiele

$(- 3, - 8)$

Schritt 1

Um eine Exponentialfunktion, $f (x) = a^{x}$ , zu ermitteln, die den Punkt enthält, setze $f (x)$ in der Funktion gleich dem $y$ -Wert $- 8$ des Punktes und setze $x$ gleich dem $x$ -Wert $- 3$ des Punktes.

$- 8 = a^{- 3}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a^{- 3} = - 8$ um.

$a^{- 3} = - 8$

Schritt 2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = - 8$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a^{3}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$a^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a^{3}} = - 8$ mit $a^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a^{3}} = - 8$ mit $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - 8 a^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 8 a^{3} = 1$ um.

$- 8 a^{3} = 1$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 a^{3} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 a^{3} - 1$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 a^{3}$ heraus.

$- (8 a^{3}) - 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (8 a^{3}) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (8 a^{3}) - 1 (1)$ heraus.

$- (8 a^{3} + 1) = 0$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe $8 a^{3}$ als ${(2 a)}^{3}$ um.

$- ({(2 a)}^{3} + 1) = 0$

Schritt 2.5.3.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- ({(2 a)}^{3} + 1^{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 a$ und $b = 1$ .

$- ((2 a + 1) ({(2 a)}^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.5.1.1

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$- ((2 a + 1) (2^{2} a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.5.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)) = 0$

Schritt 2.5.3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$

Schritt 2.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 a + 1 = 0$

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Schritt 2.5.5

Setze $2 a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.5.1

Setze $2 a + 1$ gleich $0$ .

$2 a + 1 = 0$

Schritt 2.5.5.2

Löse $2 a + 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 a = - 1$

Schritt 2.5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 a = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.6

Setze $4 a^{2} - 2 a + 1$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.6.1

Setze $4 a^{2} - 2 a + 1$ gleich $0$ .

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Löse $4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.5.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.5.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 2.5.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$ wahr machen.

$a = - \frac{1}{2}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2.6

Entferne alle Werte, die imaginäre Komponenten enthalten.

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Schritt 2.6.1

Es gibt keine imaginären Komponenten. Addiere $- \frac{1}{2}$ zum endgültigen Ergebnis.

$- \frac{1}{2}$ ist eine reelle Zahl

Schritt 2.6.2

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.6.3

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.6.4

Die endgültige Lösung ist die Liste der Werte, die keine imaginären Komponenten enthalten.

$a = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze jeden Wert für $a$ erneut in die Funktion $f (x) = a^{x}$ ein, um jede mögliche Exponentialfunktion zu ermitteln.

$f (x) = {(- \frac{1}{2})}^{x}$