Algebravorstufe Beispiele

$(2^{x}) (3^{y}) (5^{z}) = (2^{3}) (3^{x - 2}) (5^{2 x - 3 y})$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z} = 2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ durch $2^{x} \cdot 3^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z} = 2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ durch $2^{x} \cdot 3^{y}$ .

$\frac{2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}{2^{x} \cdot 3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{x}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}}{2^{x} \cdot 3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{y} \cdot 5^{z}}{3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{y}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{y} \cdot 5^{z}}{3^{y}} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $5^{z}$ durch $1$ .

$5^{z} = \frac{2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{3}$ und $2^{x}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{3} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ heraus.

$5^{z} = \frac{2^{x} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.1.2.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} \cdot 3^{y}$ heraus.

$5^{z} = \frac{2^{x} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{2^{x} (3^{y})}$

Schritt 1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{z} = \frac{2^{x} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{2^{x} \cdot 3^{y}}$

Schritt 1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5^{z} = \frac{2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{3^{y}}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{x - 2}$ und $3^{y}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $3^{y}$ aus $2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ heraus.

$5^{z} = \frac{3^{y} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{3^{y}}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$5^{z} = \frac{3^{y} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{3^{y} \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{z} = \frac{3^{y} (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})}{3^{y} \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5^{z} = \frac{2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y}}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere $2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y}$ durch $1$ .

$5^{z} = 2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{z}) = \ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{z})$ durch Herausziehen von $z$ aus dem Logarithmus.

$z \ln (5) = \ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})$

Schritt 4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 4.1

Schreibe $\ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y} \cdot 5^{2 x - 3 y})$ als $\ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$ um.

$z \ln (5) = \ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (2^{3 - x} \cdot 3^{x - 2 - y})$ als $\ln (2^{3 - x}) + \ln (3^{x - 2 - y})$ um.

$z \ln (5) = \ln (2^{3 - x}) + \ln (3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (2^{3 - x})$ durch Herausziehen von $3 - x$ aus dem Logarithmus.

$z \ln (5) = (3 - x) \ln (2) + \ln (3^{x - 2 - y}) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

Schritt 4.4

Zerlege $\ln (3^{x - 2 - y})$ durch Herausziehen von $x - 2 - y$ aus dem Logarithmus.

$z \ln (5) = (3 - x) \ln (2) + (x - 2 - y) \ln (3) + \ln (5^{2 x - 3 y})$

Schritt 4.5

Zerlege $\ln (5^{2 x - 3 y})$ durch Herausziehen von $2 x - 3 y$ aus dem Logarithmus.

$z \ln (5) = (3 - x) \ln (2) + (x - 2 - y) \ln (3) + (2 x - 3 y) \ln (5)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + (x - 2 - y) \ln (3) + (2 x - 3 y) \ln (5)$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + (2 x - 3 y) \ln (5)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$z \ln (5) - 3 \ln (2) + x \ln (2) - x \ln (3) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 0$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $3 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) + x \ln (2) - x \ln (3) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2)$

Schritt 7.2

Subtrahiere $x \ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) - x \ln (3) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2)$

Schritt 7.3

Addiere $x \ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) + 2 \ln (3) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3)$

Schritt 7.4

Subtrahiere $2 \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) + y \ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Schritt 7.5

Subtrahiere $y \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) - 2 x \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3)$

Schritt 7.6

Addiere $2 x \ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) + 3 y \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5)$

Schritt 7.7

Subtrahiere $3 y \ln (5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $z \ln (5) = 3 \ln (2) - x \ln (2) + x \ln (3) - 2 \ln (3) - y \ln (3) + 2 x \ln (5) - 3 y \ln (5)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{z \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{- x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{- x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{- y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + \frac{2 x \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 8.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.3.1.4.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + 2 x + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 8.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + 2 x + \frac{- 3 y \ln (5)}{\ln (5)}$

Schritt 8.3.1.5.2

Dividiere $- 3 y$ durch $1$ .

$z = \frac{3 \ln (2)}{\ln (5)} - \frac{x \ln (2)}{\ln (5)} + \frac{x \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{2 \ln (3)}{\ln (5)} - \frac{y \ln (3)}{\ln (5)} + 2 x - 3 y$