Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{2 z} + 7 = 2 z + 13$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{2 z} = 2 z + 13 - 7$

Schritt 1.2

Subtrahiere $7$ von $13$ .

$\frac{1}{2 z} = 2 z + 6$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 z, 1, 1$

Schritt 2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 z$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 z} = 2 z + 6$ mit $2 z$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 z} = 2 z + 6$ mit $2 z$ .

$\frac{1}{2 z} (2 z) = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{2 z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 z$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (z)} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{z} z = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 2 z (2 z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = 2 \cdot 2 z \cdot z + 6 (2 z)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $z$ .

$1 = 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 6 (2 z)$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$1 = 2 \cdot 2 z^{2} + 6 (2 z)$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 = 4 z^{2} + 6 (2 z)$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$1 = 4 z^{2} + 12 z$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 z^{2} + 12 z = 1$ um.

$4 z^{2} + 12 z = 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 z^{2} + 12 z - 1 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 12$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $144$ und $16$ .

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$z = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$z = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{10}}{8}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{10}}{8}$ .

$z = \frac{- 3 \pm \sqrt{10}}{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = - \frac{3 - \sqrt{10}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$z = - \frac{3 - \sqrt{10}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$

Dezimalform:

$z = 0.08113883 \dots, - 3.08113883 \dots$