Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 7}$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 z^{2} + 7$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 z^{2}$ heraus.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2}) + 7}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $0.5$ aus $7$ heraus.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14$ heraus.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2} + 14)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2 (1)}{0.5 (z^{2} + 14)}$

Schritt 1.3

Separiere Brüche.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5} \cdot \frac{1}{z^{2} + 14}$

Schritt 1.4

Dividiere $2$ durch $0.5$ .

$\frac{2}{z - 5} = 4 \frac{1}{z^{2} + 14}$

Schritt 1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{z^{2} + 14}$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{4}{z^{2} + 14}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 (z^{2} + 14)$ .

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Schritt 3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Schritt 3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 z^{2} + 2 \cdot 14 = (z - 5) \cdot 4$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$2 z^{2} + 28 = (z - 5) \cdot 4$

Schritt 3.2

Vereinfache $(z - 5) \cdot 4$ .

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 z^{2} + 28 = z \cdot 4 - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $z$ .

$2 z^{2} + 28 = 4 \cdot z - 5 \cdot 4$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$2 z^{2} + 28 = 4 z - 20$

Schritt 3.3

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 z^{2} + 28 - 4 z = - 20$

Schritt 3.4

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 z^{2} + 28 - 4 z + 20 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $28$ und $20$ .

$2 z^{2} - 4 z + 48 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $2$ aus $2 z^{2} - 4 z + 48$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 z^{2}$ heraus.

$2 (z^{2}) - 4 z + 48 = 0$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 z$ heraus.

$2 (z^{2}) + 2 (- 2 z) + 48 = 0$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $2$ aus $48$ heraus.

$2 z^{2} + 2 (- 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $2$ aus $2 z^{2} + 2 (- 2 z)$ heraus.

$2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24$ heraus.

$2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$

Schritt 3.7

Teile jeden Ausdruck in $2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.7.2.1.2

Dividiere $z^{2} - 2 z + 24$ durch $1$ .

$z^{2} - 2 z + 24 = \frac{0}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$z^{2} - 2 z + 24 = 0$

Schritt 3.8

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.9

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 24$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 24)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 24$ .

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Schritt 3.10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $24$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.3

Subtrahiere $96$ von $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.4

Schreibe $- 92$ als $- 1 (92)$ um.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (92)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ um.

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.7

Schreibe $92$ als $2^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 3.10.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $92$ heraus.

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{23}$

Schritt 3.11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = 1 + i \sqrt{23}, 1 - i \sqrt{23}$