Algebravorstufe Beispiele

$u = \sqrt{7 u - 12}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{7 u - 12} = u$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 u - 12}}^{2} = u^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 u - 12}$ als ${(7 u - 12)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 u - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = u^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(7 u - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 u - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 u - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = u^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 u - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = u^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 u - 12)}^{1} = u^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$7 u - 12 = u^{2}$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $u^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 u - 12 - u^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $7 u - 12 - u^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $- 12$ .

$7 u - u^{2} - 12 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $7 u$ und $- u^{2}$ um.

$- u^{2} + 7 u - 12 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) + 7 u - 12 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $7 u$ heraus.

$- (u^{2}) - (- 7 u) - 12 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$- (u^{2}) - (- 7 u) - 1 \cdot 12 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - (- 7 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 7 u) - 1 \cdot 12 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 7 u) - 1 (12)$ heraus.

$- (u^{2} - 7 u + 12) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 4) (u - 3)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 4) (u - 3) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 3 = 0$

Schritt 4.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 4.5

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 4) (u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = 4, 3$