Algebravorstufe Beispiele

$\frac{y + 2}{4 y} - \frac{1}{2} = \frac{y - 9}{10 y}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 y, 2, 10 y$

Schritt 1.2

Since $4 y, 2, 10 y$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 2, 10$ then find LCM for the variable part $y^{1}, y^{1}$ .

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 1.5

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 1.6

$10$ hat Faktoren von $2$ und $5$ .

$2 \cdot 5$

Schritt 1.7

Das kgV von $4, 2, 10$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Schritt 1.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Schritt 1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 5$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20$

Schritt 1.9

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 1.10

Das kgV von $y^{1}, y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 1.11

Das kgV von $4 y, 2, 10 y$ ist der numerische Teil $20$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$20 y$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 2}{4 y} - \frac{1}{2} = \frac{y - 9}{10 y}$ mit $20 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y + 2}{4 y} - \frac{1}{2} = \frac{y - 9}{10 y}$ mit $20 y$ .

$\frac{y + 2}{4 y} (20 y) - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$20 \frac{y + 2}{4 y} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$4 (5) \frac{y + 2}{4 y} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$4 (5) \frac{y + 2}{4 (y)} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 5 \frac{y + 2}{4 y} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{y + 2}{y} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{y + 2}{y}$ .

$\frac{5 (y + 2)}{y} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (y + 2)}{y} y - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (y + 2) - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y + 5 \cdot 2 - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$5 y + 10 - \frac{1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$5 y + 10 + \frac{- 1}{2} (20 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $20 y$ heraus.

$5 y + 10 + \frac{- 1}{2} (2 (10 y)) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 y + 10 + \frac{- 1}{2} (2 (10 y)) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$5 y + 10 - (10 y) = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.1.8

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$5 y + 10 - 10 y = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $10 y$ von $5 y$ .

$- 5 y + 10 = \frac{y - 9}{10 y} (20 y)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 5 y + 10 = 20 \frac{y - 9}{10 y} y$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$- 5 y + 10 = 10 (2) \frac{y - 9}{10 y} y$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $10$ aus $10 y$ heraus.

$- 5 y + 10 = 10 (2) \frac{y - 9}{10 (y)} y$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 y + 10 = 10 \cdot 2 \frac{y - 9}{10 y} y$

Schritt 2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 5 y + 10 = 2 \frac{y - 9}{y} y$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{y - 9}{y}$ .

$- 5 y + 10 = \frac{2 (y - 9)}{y} y$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 y + 10 = \frac{2 (y - 9)}{y} y$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 y + 10 = 2 (y - 9)$

Schritt 2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 y + 10 = 2 y + 2 \cdot - 9$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$- 5 y + 10 = 2 y - 18$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y + 10 - 2 y = - 18$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 5 y$ .

$- 7 y + 10 = - 18$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 y = - 18 - 10$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $10$ von $- 18$ .

$- 7 y = - 28$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = - 28$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 y = - 28$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 28}{- 7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{- 28}{- 7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 28}{- 7}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 28$ durch $- 7$ .

$y = 4$