Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt{y + 11} = 2 + \sqrt{y - 2}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 11}}^{2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 11}$ als ${(y + 11)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 11)}^{1} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$y + 11 = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$ um.

$y + 11 = (2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 11 = 2 (2 + \sqrt{y - 2}) + \sqrt{y - 2} (2 + \sqrt{y - 2})$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 11 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} (2 + \sqrt{y - 2})$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 11 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 2 + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 2 + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{y - 2}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \cdot \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{y - 2}$ mit $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{y - 2}$ mit $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1 + 1}$

Schritt 2.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ als $y - 2$ um.

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Schritt 2.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 2}$ als ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{1}$

Schritt 2.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + y - 2$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$y + 11 = 2 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + y$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $2 \sqrt{y - 2}$ und $2 \sqrt{y - 2}$ .

$y + 11 = 2 + 4 \sqrt{y - 2} + y$

Schritt 3

Löse nach $4 \sqrt{y - 2}$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 + 4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11$ um.

$2 + 4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $4 \sqrt{y - 2}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11 - 2$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sqrt{y - 2} = y + 11 - 2 - y$

Schritt 3.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y + 11 - 2 - y$ .

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 0 + 11 - 2$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $0$ und $11$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 11 - 2$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $2$ von $11$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 9$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 \sqrt{y - 2})}^{2} = 9^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 2}$ als ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$4^{2} {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(y - 2)}^{1} = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$16 (y - 2) = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 y + 16 \cdot - 2 = 9^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$16 y - 32 = 9^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$16 y - 32 = 81$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Addiere $32$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 y = 81 + 32$

Schritt 6.1.2

Addiere $81$ und $32$ .

$16 y = 113$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $16 y = 113$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 y = 113$ durch $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{113}{16}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 y}{16} = \frac{113}{16}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{113}{16}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{113}{16}$

Dezimalform:

$y = 7.0625$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = 7 \frac{1}{16}$