Algebravorstufe Beispiele

$9 + \frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2}$

Schritt 1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 1, y - 2, 1$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $y - 1$ ist $y - 1$ selbst.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $y - 2$ ist $y - 2$ selbst.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $y - 1, y - 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(y - 1) (y - 2)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$ mit $(y - 1) (y - 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$ mit $(y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (y - 2) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + 2 \cdot - 2 = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 y - 4 = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{y - 2}$ in den Zähler.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3.1.1.2

Faktorisiere $y - 2$ aus $(y - 1) (y - 2)$ heraus.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 y - 4 = - 4 (y - 1) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 4 = - 4 y - 4 \cdot - 1 - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $(y - 1) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y (y - 2) - 1 (y - 2))$

Schritt 3.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2))$

Schritt 3.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Schritt 3.3.1.5.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2)$

Schritt 3.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 y - y + 2)$

Schritt 3.3.1.5.2

Subtrahiere $y$ von $- 2 y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 3 y + 2)$

Schritt 3.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} - 9 (- 3 y) - 9 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 9$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} + 27 y - 9 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.7.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} + 27 y - 18$

Schritt 3.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 4 y$ und $27 y$ .

$2 y - 4 = 23 y + 4 - 9 y^{2} - 18$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $18$ von $4$ .

$2 y - 4 = 23 y - 9 y^{2} - 14$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$23 y - 9 y^{2} - 14 = 2 y - 4$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$23 y - 9 y^{2} - 14 - 2 y = - 4$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 y$ von $23 y$ .

$21 y - 9 y^{2} - 14 = - 4$

Schritt 4.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$21 y - 9 y^{2} - 14 + 4 = 0$

Schritt 4.4

Addiere $- 14$ und $4$ .

$21 y - 9 y^{2} - 10 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $21 y - 9 y^{2} - 10$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1

Stelle $21 y$ und $- 9 y^{2}$ um.

$- 9 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Schritt 4.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 y^{2}$ heraus.

$- (9 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $21 y$ heraus.

$- (9 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$- (9 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 4.5.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 y^{2}) - (- 21 y)$ heraus.

$- (9 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Schritt 4.5.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ heraus.

$- (9 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 10 = 90$ und deren Summe gleich $b = - 21$ ist.

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 21$ aus $- 21 y$ heraus.

$- (9 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Schreibe $- 21$ um als $- 6$ plus $- 15$

$- (9 y^{2} + (- 6 - 15) y + 10) = 0$

Schritt 4.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (9 y^{2} - 6 y - 15 y + 10) = 0$

Schritt 4.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((9 y^{2} - 6 y) - 15 y + 10) = 0$

Schritt 4.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (3 y (3 y - 2) - 5 (3 y - 2)) = 0$

Schritt 4.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y - 2$ .

$- ((3 y - 2) (3 y - 5)) = 0$

Schritt 4.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 y - 2) (3 y - 5) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$3 y - 5 = 0$

Schritt 4.7

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $3 y - 2 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2$

Schritt 4.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.7.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 4.8

Setze $3 y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $3 y - 5$ gleich $0$ .

$3 y - 5 = 0$

Schritt 4.8.2

Löse $3 y - 5 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.8.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 5$

Schritt 4.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 4.8.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5}{3}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 y - 2) (3 y - 5) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Dezimalform:

$y = 0.\overline{6}, 1.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = \frac{2}{3}, 1 \frac{2}{3}$