Algebravorstufe Beispiele

$9 x - 3 \sqrt{x - 2} = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 \sqrt{x - 2} = - 9 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 3 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 3)}^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$9 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 {(x - 2)}^{1} = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$9 (x - 2) = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x + 9 \cdot - 2 = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$9 x - 18 = {(- 9 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 9 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 9 x$ an.

$9 x - 18 = {(- 9)}^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$9 x - 18 = 81 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $81 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x - 18 - 81 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 9$ aus $9 x - 18 - 81 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1

Bewege $- 18$ .

$9 x - 81 x^{2} - 18 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Stelle $9 x$ und $- 81 x^{2}$ um.

$- 81 x^{2} + 9 x - 18 = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $- 9$ aus $- 81 x^{2}$ heraus.

$- 9 (9 x^{2}) + 9 x - 18 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $- 9$ aus $9 x$ heraus.

$- 9 (9 x^{2}) - 9 (- x) - 18 = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere $- 9$ aus $- 18$ heraus.

$- 9 (9 x^{2}) - 9 (- x) - 9 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 (9 x^{2}) - 9 (- x)$ heraus.

$- 9 (9 x^{2} - x) - 9 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.2.6

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 (9 x^{2} - x) - 9 (2)$ heraus.

$- 9 (9 x^{2} - x + 2) = 0$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 9 (9 x^{2} - x + 2) = 0$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 (9 x^{2} - x + 2) = 0$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 (9 x^{2} - x + 2)}{- 9} = \frac{0}{- 9}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 (9 x^{2} - x + 2)}{- 9} = \frac{0}{- 9}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $9 x^{2} - x + 2$ durch $1$ .

$9 x^{2} - x + 2 = \frac{0}{- 9}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 9$ .

$9 x^{2} - x + 2 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 1$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 2)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9 \cdot 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 2$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 36 \cdot 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere $72$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $- 71$ als $- 1 (71)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (71)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{18}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{71}}{18}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{18}$