Algebravorstufe Beispiele

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \div \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + x y}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x^{2} + x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x y$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x \cdot x + x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x \cdot x + x (y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (y)$ heraus.

$(\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 3

Um $\frac{x}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{y}{x + y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4

Um $- \frac{y}{x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - y) (x + y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{x - y}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{y}{x + y}$ mit $\frac{x - y}{x - y}$ .

$(\frac{x (x + y)}{(x - y) (x + y)} - \frac{y (x - y)}{(x + y) (x - y)}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(x - y) (x + y)$ um.

$(\frac{x (x + y)}{(x + y) (x - y)} - \frac{y (x - y)}{(x + y) (x - y)}) \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x + y) - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x y - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x y - y (x - y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x y - y x - y (- y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.5.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.5.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + x y - y x + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.6

Subtrahiere $y x$ von $x y$ .

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Schritt 7.6.1

Bewege $y$ .

$\frac{x^{2} + x y - x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $x y$ von $x y$ .

$\frac{x^{2} + 0 + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7.7

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x (x + y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} (x (x + y))$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $x + y$ aus $x (x + y)$ heraus.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} ((x + y) x)$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x + y) (x - y)} ((x + y) x)$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - y} x$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{x - y}$ und $x$ .

$\frac{x}{x - y}$