Algebravorstufe Beispiele

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4 = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ heraus.

$x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x {(x - 2)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$