Algebravorstufe Beispiele

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{y^{2} + 9 y - 22}$

Schritt 1

Faktorisiere $y^{2} + 9 y - 22$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 22$ und deren Summe $9$ ist.

$- 2, 11$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 2, (y - 2) (y + 11)$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $y - 2$ ist $y - 2$ selbst.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $y + 11$ ist $y + 11$ selbst.

$(y + 11) = y + 11$

$(y + 11)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $y - 2, y - 2, y + 11$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(y - 2) (y + 11)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ mit $(y - 2) (y + 11)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ mit $(y - 2) (y + 11)$ .

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(y - 5) (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(y - 5) (y + 11)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (y + 11) - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.3.1.2

Bringe $11$ auf die linke Seite von $y$ .

$y^{2} + 11 \cdot y - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $11$ .

$y^{2} + 11 y - 5 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $5 y$ von $11 y$ .

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(y - 2) (y + 11)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 6 y - 55 = 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 6 y - 55 - 1 = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1$ von $- 55$ .

$y^{2} + 6 y - 56 = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = - 56$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 56$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 56$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $36$ und $224$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $260$ als $2^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $260$ heraus.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{65}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Dezimalform:

$y = 5.06225774 \dots, - 11.06225774 \dots$