Algebravorstufe Beispiele

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(0.25 \div \sqrt{2})}^{- x}$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{- x}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{- x}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{- x}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{- x}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{- x}$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{- x}$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{- x}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{- x}$

Schritt 3.6.5

Berechne den Exponenten.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2})}^{- x}$

Schritt 4

Mutltipliziere $0.25$ mit $\sqrt{2}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.35355339}{2})}^{- x}$

Schritt 5

Dividiere $0.35355339$ durch $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {0.17677669}^{- x}$

Schritt 6

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Schritt 7

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8})$ als $\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8})$ um.

$\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Schritt 7.2

Zerlege $\ln (4^{2 x - 8})$ durch Herausziehen von $2 x - 8$ aus dem Logarithmus.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Schritt 8

Zerlege $\ln ({0.17677669}^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Schritt 9

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (0.125) + 2 x \ln (4) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Schritt 10

Stelle $\ln (0.125)$ und $2 x \ln (4)$ um.

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Schritt 11

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = 0$

Schritt 12

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Subtrahiere $\ln (0.125)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (4) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125)$

Schritt 12.2

Addiere $8 \ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Schritt 13

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \ln (4)$ heraus.

$x (2 \ln (4)) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Schritt 13.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (0.17677669)$ heraus.

$x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Schritt 13.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669))$ heraus.

$x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Schritt 14

Teile jeden Ausdruck in $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ durch $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Teile jeden Ausdruck in $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ durch $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (0.125)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $8 \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))$ heraus.

$x = \frac{- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.5.1

Schreibe $- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ als $- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ um.

$x = \frac{- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 14.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Dezimalform:

$x = 12.\overline{6}$