Algebravorstufe Beispiele

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Schritt 1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Schritt 1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} + 3 \cdot 0.5 - 3$

Schritt 1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $0.25$ .

$0.25 + 1.25 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Schritt 1.3.6

Addiere $0.25$ und $1.25$ .

$1.5 + 3 \cdot 0.5 - 3$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $0.5$ .

$1.5 + 1.5 - 3$

Schritt 1.3.8

Addiere $1.5$ und $1.5$ .

$3 - 3$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3}{2 x - 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$3 x$

$3$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							+	$6 x$	-	$3$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 3$

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$3$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$3 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$6 x$	-	$3$
							-	$6 x$	+	$3$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 3 x + 3$

Schritt 1.6

Schreibe $2 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x - 3$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 3 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 3 x + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$