Algebravorstufe Beispiele

$x^{6} - 35 x^{3} + 216 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

${(x^{3})}^{2} - 35 x^{3} + 216 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$u^{2} - 35 u + 216 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 35 u + 216$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $216$ und deren Summe $- 35$ ist.

$- 27, - 8$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 27) (u - 8) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(x^{3} - 27) (x^{3} - 8) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} - 27 = 0$

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{3} - 27$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{3} - 27$ gleich $0$ .

$x^{3} - 27 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{3} - 27 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 27$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 27 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Schritt 3.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 3.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.2.6

Setze $x^{2} + 3 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Setze $x^{2} + 3 x + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Schritt 3.2.6.2

Löse $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Schritt 3.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Setze $x^{3} - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{3} - 8$ gleich $0$ .

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{3} - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 8$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 8 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 4.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Schritt 4.2.3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 4.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 4.2.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.2.6

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 4.2.6.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.6.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 4.2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.2.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 4.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{3} - 27) (x^{3} - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$