Algebravorstufe Beispiele

$x^{3} = \frac{64}{27}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{64}{27}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - \frac{64}{27} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{64}{27}$ als ${(\frac{4}{3})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(\frac{4}{3})}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = \frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + x (\frac{4}{3}) + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{x \cdot 4}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 \cdot x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $x$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + {(\frac{4}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{4^{2}}{3^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Schritt 4

Setze $x - \frac{4}{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - \frac{4}{3}$ gleich $0$ .

$x - \frac{4}{3} = 0$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{4}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 5

Setze $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}$ gleich $0$ .

$x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $9$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} + 9 (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{4 x}{3}) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{4 x}{3})) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 3 (4 x) + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 12 x + 9 (\frac{16}{9}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Schritt 5.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.3

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 12$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $576$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.4

Schreibe $- 432$ als $- 1 (432)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (432)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.7

Schreibe $432$ als $12^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $432$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.7.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.1.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - \frac{4}{3}) (x^{2} + \frac{4 x}{3} + \frac{16}{9}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$