Algebravorstufe Beispiele

$x^{3} = \frac{125}{216}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{125}{216}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - \frac{125}{216} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{125}{216}$ als ${(\frac{5}{6})}^{3}$ um.

$x^{3} - {(\frac{5}{6})}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = \frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + x (\frac{5}{6}) + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{6}$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{x \cdot 5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 \cdot x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $x$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

Schritt 2.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{5^{2}}{6^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{6^{2}}) = 0$

Schritt 2.3.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - \frac{5}{6} = 0$

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

Schritt 4

Setze $x - \frac{5}{6}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - \frac{5}{6}$ gleich $0$ .

$x - \frac{5}{6} = 0$

Schritt 4.2

Addiere $\frac{5}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{5}{6}$

Schritt 5

Setze $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ gleich $0$ .

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $36$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$36 x^{2} + 36 (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$36 x^{2} + 6 (6) (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 x^{2} + 6 \cdot (6 (\frac{5 x}{6})) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$36 x^{2} + 6 (5 x) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 5.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

Schritt 5.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$36 x^{2} + 30 x + 25 = 0$

Schritt 5.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.3

Setze die Werte $a = 36$ , $b = 30$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 25)}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 36 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 36 \cdot 25$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $36$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 144 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 144$ mit $25$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $3600$ von $900$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.4

Schreibe $- 2700$ als $- 1 (2700)$ um.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2700)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ um.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.7

Schreibe $2700$ als $30^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.2.4.1.7.1

Faktorisiere $900$ aus $2700$ heraus.

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.7.2

Schreibe $900$ als $30^{2}$ um.

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.1.9

Bringe $30$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 36}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{12}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{6}, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$