Algebravorstufe Beispiele

$x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 17 x - 6 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 17 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} - 15 {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 3 {(- 1)}^{3} - 15 {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 3 \cdot - 1 - 15 {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$1 + 3 - 15 {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.5

Addiere $1$ und $3$ .

$4 - 15 {(- 1)}^{2} - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - 15 \cdot 1 - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$4 - 15 - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.8

Subtrahiere $15$ von $4$ .

$- 11 - 17 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.1.3.9

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 1$ .

$- 11 + 17 - 6$

Schritt 1.1.3.10

Addiere $- 11$ und $17$ .

$6 - 6$

Schritt 1.1.3.11

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 17 x - 6}{x + 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere $x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 17 x - 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$17 x$

$6$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{3}$
	$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$17 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 11 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$
							-	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 11 x^{2} - 11 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$17 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$15 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x^{2}$

$17 x$

$11 x^{2}$

$11 x$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$17 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$15 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x^{2}$

$17 x$

$11 x^{2}$

$11 x$

$6 x$

Schritt 1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$
							+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
									-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$
							+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
									-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$
							+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
									-	$6 x$	-	$6$
									-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$
							+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
									-	$6 x$	-	$6$
									+	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$17 x$	-	$6$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$4 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
							-	$11 x^{2}$	-	$17 x$
							+	$11 x^{2}$	+	$11 x$
									-	$6 x$	-	$6$
									+	$6 x$	+	$6$
												$0$

Schritt 1.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$

Schritt 1.1.6

Schreibe $x^{4} - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 17 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 1 - 4 - 11 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.2.3.5

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 5 - 11 \cdot - 1 - 6$

Schritt 1.2.3.6

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 1$ .

$- 5 + 11 - 6$

Schritt 1.2.3.7

Addiere $- 5$ und $11$ .

$6 - 6$

Schritt 1.2.3.8

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6}{x + 1}$

Schritt 1.2.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$6$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$

Schritt 1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$

Schritt 1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$6 x$

Schritt 1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x - 6$

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 1.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 5 x - 6$

Schritt 1.2.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) ((x + 1) (x^{2} - 5 x - 6)) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) ((x + 1) ((x - 6) (x + 1))) = 0$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) ((x + 1) (x - 6) (x + 1)) = 0$

Schritt 1.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x + 1) (x + 1) (x - 6)) = 0$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) ((x + 1) (x + 1) (x - 6)) = 0$

Schritt 1.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) ({(x + 1)}^{1 + 1} (x - 6)) = 0$

Schritt 1.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 1) ({(x + 1)}^{2} (x - 6)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 6) = 0$

Schritt 1.5

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} (x - 6) = 0$

Schritt 1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 1)}^{1 + 2} (x - 6) = 0$

Schritt 1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

${(x + 1)}^{3} (x - 6) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 3

Setze ${(x + 1)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze ${(x + 1)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(x + 1)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{3} (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 6$