Algebravorstufe Beispiele

$x^{3} - x = 4 x^{2} - 4$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - x - 4 x^{2} = - 4$

Schritt 2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 4 x^{2}) - x + 4 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 4) - (x - 4) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x - 4) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 4) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 1, 1$