Algebravorstufe Beispiele

$\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 = \frac{2 x}{x - 3}$

Schritt 1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{36}{x^{2} - 9} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{36}{x^{2} - 3^{2}} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 3) (x - 3), x - 3, 1$

Schritt 3.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.5

Der Teiler von $x + 3$ ist $x + 3$ selbst.

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ occurs $1$ time.

Schritt 3.6

Der Teiler von $x - 3$ ist $x - 3$ selbst.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ occurs $1$ time.

Schritt 3.7

Das kgV von $x + 3, x - 3, x - 3$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 3) (x - 3)$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$ mit $(x + 3) (x - 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{2 x}{x - 3} + 3$ mit $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{2 x}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 3) (x - 3)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36}{(x + 3) (x - 3)} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{2 x}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$36 = \frac{2 x}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 3) (x - 3)$ heraus.

$36 = \frac{2 x}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 = \frac{2 x}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$36 = 2 x (x + 3) + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$36 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$36 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$36 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 4.3.1.5

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

Schritt 4.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

Schritt 4.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.1.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Schritt 4.3.1.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 3$ und $3 x$ neu an.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.1.6.2

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.1.6.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

Schritt 4.3.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 (x^{2} - 9)$

Schritt 4.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9$

Schritt 4.3.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$36 = 2 x^{2} + 6 x + 3 x^{2} - 27$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$36 = 5 x^{2} + 6 x - 27$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $5 x^{2} + 6 x - 27 = 36$ um.

$5 x^{2} + 6 x - 27 = 36$

Schritt 5.2

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 6 x - 27 - 36 = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $36$ von $- 27$ .

$5 x^{2} + 6 x - 63 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 63 = - 315$ und deren Summe gleich $b = 6$ ist.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$5 x^{2} + 6 (x) - 63 = 0$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe $6$ um als $- 15$ plus $21$

$5 x^{2} + (- 15 + 21) x - 63 = 0$

Schritt 5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 15 x + 21 x - 63 = 0$

Schritt 5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 15 x) + 21 x - 63 = 0$

Schritt 5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 x (x - 3) + 21 (x - 3) = 0$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 3) (5 x + 21) = 0$

Schritt 5.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$5 x + 21 = 0$

Schritt 5.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.7

Setze $5 x + 21$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $5 x + 21$ gleich $0$ .

$5 x + 21 = 0$

Schritt 5.7.2

Löse $5 x + 21 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.2.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 21$

Schritt 5.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 21$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 21$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 21}{5}$

Schritt 5.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 21}{5}$

Schritt 5.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 21}{5}$

Schritt 5.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{21}{5}$

Schritt 5.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (5 x + 21) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{21}{5}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{36}{x^{2} - 9} - 3 = \frac{2 x}{x - 3}$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{21}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{21}{5}$

Dezimalform:

$x = - 4.2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 4 \frac{1}{5}$