Algebravorstufe Beispiele

$\sqrt[3]{4 x^{2} + 3 x - 8} = \sqrt[3]{4 x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{4 x^{2} + 3 x - 8}}^{3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x^{2} + 3 x - 8}$ als ${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{1} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ als $4 x$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x}$ als ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

$4 x^{2} + 3 x - 8 = 4 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 3 x - 8 - 4 x = 0$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$4 x^{2} - x - 8 = 0$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 1$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $1$ und $128$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{129}}{8}$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{129}}{8}, \frac{1 - \sqrt{129}}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{129}}{8}, \frac{1 - \sqrt{129}}{8}$

Dezimalform:

$x = 1.54472708 \dots, - 1.29472708 \dots$